حل تمرین صفحه 11 حسابان دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 1 صفحه 11 حسابان دوازدهم برای نظیر کردن توابع به نمودارها، باید اثر تبدیلاتی (انتقال، قرینه‌یابی، انبساط/انقباض) را روی تابع اصلی $y = \sqrt{x}$ بررسی کنیم. نمودار اصلی از **$(0, 0)$** شروع شده و به **راست و بالا** می‌رود. --- ### تحلیل توابع و تطبیق با نمودارها 1. **الف) $y = \sqrt{2 + x} = \sqrt{x + 2}$** * **تبدیل:** **انتقال 2 واحد به چپ.** (چون 2 به $x$ اضافه شده است). * **نقطه شروع:** $(-2, 0)$. جهت: راست و بالا. * **تطبیق:** نمودار (a) از $(-2, 0)$ شروع شده و به راست و بالا می‌رود. * **پاسخ:** (الف) $\to$ **(a)** 2. **ب) $y = 2 + \sqrt{x}$** * **تبدیل:** **انتقال 2 واحد به بالا.** (چون 2 به کل تابع اضافه شده است). * **نقطه شروع:** $(0, 2)$. جهت: راست و بالا. * **تطبیق:** نمودار (d) از $(0, 2)$ شروع شده و به راست و بالا می‌رود. * **پاسخ:** (ب) $\to$ **(d)** 3. **پ) $y = -2\sqrt{x}$** * **تبدیل:** **قرینه نسبت به محور $x$** (به دلیل ضریب $-2$) و **انبساط عمودی 2 برابر.** * **نقطه شروع:** $(0, 0)$. جهت: راست و پایین. * **تطبیق:** نمودار (e) از $(0, 0)$ شروع شده و به راست و پایین می‌رود (و کشیده شده است). * **پاسخ:** (پ) $\to$ **(e)** 4. **ت) $y = \sqrt{\frac{x}{2}}$** * **تبدیل:** **انبساط افقی 2 برابر.** (چون ضریب $x$، $\frac{1}{2}$ است). * **نقطه شروع:** $(0, 0)$. جهت: راست و بالا. این نمودار نسبت به $\sqrt{x}$ **بازتر (کشیده‌تر)** است. * **تطبیق:** نمودار (c) از $(0, 0)$ شروع شده و نسبت به (a) و (b) کشیده‌تر به نظر می‌رسد. * **پاسخ:** (ت) $\to$ **(c)** 5. **ث) $y = 2 + \sqrt{x - 2}$** * **تبدیل:** **انتقال 2 واحد به راست** ($x-2$) و **2 واحد به بالا** ($+2$). * **نقطه شروع:** $(2, 2)$. جهت: راست و بالا. * **تطبیق:** نمودار (b) از $(2, 2)$ شروع شده و به راست و بالا می‌رود. * **پاسخ:** (ث) $\to$ **(b)** 6. **ج) $y = \sqrt{-2x}$** * **تبدیل:** **قرینه نسبت به محور $y$** (به دلیل ضریب $-2$) و **انقباض افقی 2 برابر.** * **نقطه شروع:** $(0, 0)$. جهت: چپ و بالا. * **تطبیق:** نمودار (f) از $(0, 0)$ شروع شده و به چپ و بالا می‌رود. * **پاسخ:** (ج) $\to$ **(f)** | تابع | تبدیل | نقطه شروع | تطبیق با نمودار | |:---:|:---:|:---:|:---:| | الف) $y = \sqrt{x+2}$ | 2 واحد چپ | $(-2, 0)$ | **(a)** | | ب) $y = 2 + \sqrt{x}$ | 2 واحد بالا | $(0, 2)$ | **(d)** | | پ) $y = -2\sqrt{x}$ | قرینه $x$ و انبساط عمودی | $(0, 0)$ | **(e)** | | ت) $y = \sqrt{\frac{x}{2}}$ | انبساط افقی 2 برابر | $(0, 0)$ | **(c)** | | ث) $y = 2 + \sqrt{x - 2}$ | 2 واحد راست و 2 واحد بالا | $(2, 2)$ | **(b)** | | ج) $y = \sqrt{-2x}$ | قرینه $y$ و انقباض افقی | $(0, 0)$ | **(f)** |

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 2 صفحه 11 حسابان دوازدهم سلام به شما! این تمرین مجموعه‌ای از تبدیلات نموداری را پوشش می‌دهد. برای حل این تمرین، ابتدا باید **نقاط کلیدی** نمودار اصلی $f$ را مشخص کنیم. این نقاط عبارتند از: $$\text{نمودار } f: A(-4, 0), B(-2, 2), C(1, 2), D(4, -2), E(5, 0)$$ --- ### الف) $y = f(-x)$ 🔄 **تبدیل:** ضرب شدن $x$ در $-1$ در داخل تابع، نشان‌دهنده **قرینه‌یابی نسبت به محور $y$** است. هر نقطه $(x, y)$ به $(-x, y)$ تبدیل می‌شود. * $A(-4, 0) \to A'(4, 0)$ * $B(-2, 2) \to B'(2, 2)$ * $C(1, 2) \to C'(-1, 2)$ * $D(4, -2) \to D'(-4, -2)$ * $E(5, 0) \to E'(-5, 0)$ **نتیجه:** نمودار قرینه شده $f$ نسبت به محور عمودی (محور $y$) است. --- ### ب) $y = 2f(x-1)$ ⬆️➡️ این تابع شامل دو تبدیل است: 1. **انتقال افقی به راست (1 واحد):** $f(x-1)$. (افزودن 1 به مولفه $x$) 2. **انبساط عمودی (ضریب 2):** $2f(x-1)$. (ضرب مولفه $y$ در 2) | نقطه اصلی $(x, y)$ | انتقال افقی $(x+1, y)$ | انبساط عمودی $(x+1, 2y)$ | |:---:|:---:|:---:| | $A(-4, 0)$ | $(-3, 0)$ | $A''(-3, 0)$ | | $B(-2, 2)$ | $(-1, 2)$ | $B''(-1, 4)$ | | $C(1, 2)$ | $(2, 2)$ | $C''(2, 4)$ | | $D(4, -2)$ | $(5, -2)$ | $D''(5, -4)$ | | $E(5, 0)$ | $(6, 0)$ | $E''(6, 0)$ | **نتیجه:** نمودار 1 واحد به راست منتقل شده و سپس 2 برابر در راستای عمودی کشیده شده است. --- ### پ) $y = -f(x) + 2$ ⬇️⬆️ این تابع شامل دو تبدیل است: 1. **قرینه‌یابی نسبت به محور $x$:** $-f(x)$. (ضرب مولفه $y$ در $-1$) 2. **انتقال عمودی به بالا (2 واحد):** $-f(x) + 2$. (افزودن 2 به مولفه $y$) | نقطه اصلی $(x, y)$ | قرینه‌یابی $(x, -y)$ | انتقال عمودی $(x, -y+2)$ | |:---:|:---:|:---:| | $A(-4, 0)$ | $(-4, 0)$ | $A'''(-4, 2)$ | | $B(-2, 2)$ | $(-2, -2)$ | $B'''(-2, 0)$ | | $C(1, 2)$ | $(1, -2)$ | $C'''(1, 0)$ | | $D(4, -2)$ | $(4, 2)$ | $D'''(4, 4)$ | | $E(5, 0)$ | $(5, 0)$ | $E'''(5, 2)$ | **نتیجه:** نمودار نسبت به محور افقی قرینه شده و سپس 2 واحد به بالا منتقل شده است. --- ### ت) $y = f(2x - 1) = f(2(x - 0.5))$ ➡️↔️ برای توابع به فرم $y = f(bx + c)$، ابتدا باید $b$ را فاکتور بگیریم تا به فرم $y = f(b(x - h))$ برسیم. پس: $$y = f(2(x - \frac{1}{2}))$$ این تابع شامل دو تبدیل است: 1. **انقباض افقی (ضریب 2):** $f(2x)$. (تقسیم مولفه $x$ بر 2) 2. **انتقال افقی به راست (0.5 واحد):** $f(2(x - 0.5))$. (افزودن 0.5 به مولفه $x$) | نقطه اصلی $(x, y)$ | انقباض افقی $(\frac{x}{2}, y)$ | انتقال افقی $(\frac{x}{2} + 0.5, y)$ | |:---:|:---:|:---:| | $A(-4, 0)$ | $(-2, 0)$ | $A''''(-1.5, 0)$ | | $B(-2, 2)$ | $(-1, 2)$ | $B''''( -0.5, 2)$ | | $C(1, 2)$ | $(0.5, 2)$ | $C''''(1, 2)$ | | $D(4, -2)$ | $(2, -2)$ | $D''''(2.5, -2)$ | | $E(5, 0)$ | $(2.5, 0)$ | $E''''(3, 0)$ | **نتیجه:** نمودار 2 برابر در راستای افقی فشرده شده (منقبض شده) و سپس 0.5 واحد به راست منتقل شده است. --- ### ث) $y = f(3 - x) = f(-(x - 3))$ 🔄➡️ ابتدا $x$ را به صورت $-(x - 3)$ می‌نویسیم. این تابع شامل دو تبدیل است: 1. **قرینه‌یابی نسبت به محور $y$:** $f(-x)$. (ضرب مولفه $x$ در $-1$) 2. **انتقال افقی به راست (3 واحد):** $f(-(x - 3))$. (افزودن 3 به مولفه $x$) | نقطه اصلی $(x, y)$ | قرینه‌یابی $(-x, y)$ | انتقال افقی $(-x + 3, y)$ | |:---:|:---:|:---:| | $A(-4, 0)$ | $(4, 0)$ | $A'''''(7, 0)$ | | $B(-2, 2)$ | $(2, 2)$ | $B'''''(5, 2)$ | | $C(1, 2)$ | $(-1, 2)$ | $C'''''(2, 2)$ | | $D(4, -2)$ | $(-4, -2)$ | $D'''''(-1, -2)$ | | $E(5, 0)$ | $(-5, 0)$ | $E'''''(-2, 0)$ | **نتیجه:** نمودار نسبت به محور $y$ قرینه شده و سپس 3 واحد به راست منتقل شده است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 3 صفحه 11 حسابان دوازدهم این تمرین بر روی مفهوم **قرینه‌یابی (Reflection)** توابع تمرکز دارد. نمودار اصلی $f$ از نقطه $(0, 0)$ شروع شده و تا $(2, 4)$ ادامه دارد. $$\text{نقاط مهم نمودار } f: (0, 0) \text{ و } (2, 4)$$ --- ### الف) $y = f(-x)$ 🔄 (افقی) **تبدیل:** این عمل **قرینه‌یابی نسبت به محور $y$** (محور عمودی) است. مختصات $x$ در $-1$ ضرب می‌شود. | نقطه اصلی $(x, y)$ | نقطه جدید $(-x, y)$ | |:---:|:---:| | $(0, 0)$ | $(0, 0)$ | | $(2, 4)$ | $(-2, 4)$ | **مقایسه:** نمودار $y = f(-x)$ قرینه نمودار $f$ نسبت به محور $y$ است. در واقع، نمودار از $(-2, 4)$ به $(0, 0)$ کشیده می‌شود. **نتیجه:** --- ### ب) $y = -f(x)$ ⬇️ (عمودی) **تبدیل:** این عمل **قرینه‌یابی نسبت به محور $x$** (محور افقی) است. مختصات $y$ در $-1$ ضرب می‌شود. | نقطه اصلی $(x, y)$ | نقطه جدید $(x, -y)$ | |:---:|:---:| | $(0, 0)$ | $(0, 0)$ | | $(2, 4)$ | $(2, -4)$ | **مقایسه:** نمودار $y = -f(x)$ قرینه نمودار $f$ نسبت به محور $x$ است. در واقع، نمودار از $(0, 0)$ به $(2, -4)$ کشیده می‌شود. **نتیجه:** --- ### پ) $y = -f(-x)$ 🔄⬇️ (مرکز مبدا) **تبدیل:** این عمل شامل **هر دو قرینه‌یابی** است (هم نسبت به $x$ و هم نسبت به $y$). این معادل با **قرینه‌یابی نسبت به مبدا مختصات** است. | نقطه اصلی $(x, y)$ | نقطه جدید $(-x, -y)$ | |:---:|:---:| | $(0, 0)$ | $(0, 0)$ | | $(2, 4)$ | $(-2, -4)$ | **مقایسه:** نمودار $y = -f(-x)$ قرینه نمودار $f$ نسبت به مبدا $(0, 0)$ است. در واقع، نمودار از $(-2, -4)$ به $(0, 0)$ کشیده می‌شود. **نتیجه:**

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 4 صفحه 11 حسابان دوازدهم برای نوشتن ضابطه تابع، باید بفهمیم که تابع اصلی $y = \sqrt{x}$ چه تغییراتی کرده است. نمودار اصلی $y = \sqrt{x}$ از $(0, 0)$ شروع شده و به سمت راست و بالا می‌رود. $$\text{شکل کلی تابع تبدیل یافته: } y = a\sqrt{b(x-h)} + k$$ (اما سوال فقط قرینه‌یابی و انتقال را می‌خواهد، پس $|a|$ و $|b|$ باید 1 باشند). ### گام 1: بررسی قرینه‌یابی 1. **جهت افقی:** نمودار اصلی $y = \sqrt{x}$ به سمت **راست** می‌رود ($x \geq 0$)، اما نمودار داده شده به سمت **چپ** می‌رود ($x \leq 0$). این نشان‌دهنده **قرینه‌یابی نسبت به محور $y$** است. پس $x$ با $-x$ جایگزین شده است. * تابع: $y = \sqrt{-x}$ 2. **جهت عمودی:** نمودار اصلی $y = \sqrt{x}$ به سمت **بالا** می‌رود ($y \geq 0$) و نمودار داده شده هم به سمت **بالا** می‌رود. پس قرینه‌یابی نسبت به محور $x$ **نداشته‌ایم**. ### گام 2: یافتن انتقال (نقطه شروع) 1. **نقطه شروع اصلی:** نمودار $y = \sqrt{-x}$ از **مبدا $(0, 0)$** شروع می‌شود. 2. **نقطه شروع جدید:** نمودار داده شده از نقطه **$(0, 2)$** شروع می‌شود. انتقال از $(0, 0)$ به $(0, 2)$ یعنی نمودار **2 واحد به بالا** منتقل شده است. این انتقال در بیرون تابع اصلی اعمال می‌شود (افزودن 2 به کل تابع). * تابع پس از انتقال: $y = \sqrt{-x} + 2$ ### گام 3: بررسی نقاط برای تایید برای اطمینان، نقطه دیگری روی نمودار را در ضابطه $y = \sqrt{-x} + 2$ امتحان می‌کنیم. یک نقطه واضح دیگر روی نمودار **$(-4, 0)$** است. $$\text{برای } x = -4: y = \sqrt{-(-4)} + 2 = \sqrt{4} + 2 = 2 + 2 = 4$$ **اوه!** نقطه **$(-4, 4)$** به دست آمد، در حالی که نقطه روی نمودار **$(-4, 0)$** است. این یعنی باید در مورد **انتقال افقی** تجدید نظر کنیم و نقطه شروع را درست تشخیص دهیم. --- ### روش صحیح: یافتن نقطه شروع **موج** نقطه شروع نمودار $y = a\sqrt{b(x-h)} + k$ نقطه $(h, k)$ است. 1. **نقطه شروع نمودار:** نقطه **$(-4, 0)$** جایی است که نمودار از آنجا شروع به کشیده شدن می‌کند. پس: $h = -4$ و $k = 0$. 2. **قرینه‌یابی:** نمودار به سمت چپ می‌رود (قرینه $x$ نسبت به $y$) و به سمت بالا می‌رود (قرینه $y$ ندارد). پس ضابطه باید به شکل $y = \sqrt{-(x-h)} + k$ باشد. 3. **جایگذاری $h$ و $k$:** $$y = \sqrt{-(x - (-4))} + 0$$ $$y = \sqrt{-(x + 4)}$$ $$y = \sqrt{-x - 4}$$ ### گام 4: بررسی نهایی با یک نقطه دیگر نقطه **$(0, 2)$** روی نمودار داده شده است. آن را در ضابطه $y = \sqrt{-x - 4}$ امتحان می‌کنیم: $$\text{برای } x = 0: y = \sqrt{-(0) - 4} = \sqrt{-4}$$ (غیر قابل قبول در اعداد حقیقی) --- ### نتیجه‌گیری نهایی (بازبینی دقیق‌تر) 🧐 باید فرض کنیم که نقطه **$(0, 2)$** نقطه **شروع** موج است، نه $(-4, 0)$. نقطه شروع $y = \sqrt{x}$، **$(0, 0)$** است. * **انتقال:** از $(0, 0)$ به **$(0, 2)$** $\implies$ **2 واحد به بالا** ($k=2$). * **جهت:** نمودار به سمت **چپ** می‌رود (قرینه $x$) $\implies$ $y = \sqrt{-x}$. * **ضابطه موقت:** $y = \sqrt{-x} + 2$ حال، نقطه دیگر نمودار که به وضوح مشخص است، **$(-4, 0)$** است. این نقطه را در ضابطه موقت امتحان می‌کنیم: $$\text{برای } x = -4: y = \sqrt{-(-4)} + 2 = \sqrt{4} + 2 = 2 + 2 = 4$$ (این به نقطه $(4, 4)$ می‌انجامد، نه $(4, 0)$) **تنها راه منطقی** بر اساس شکل، این است که نمودار $y = \sqrt{x}$ **هم** نسبت به محور $x$ و **هم** نسبت به محور $y$ قرینه شده باشد (یک ضریب $-1$ در بیرون و یک ضریب $-1$ در داخل). * **تابع: $y = -\sqrt{-x}$** (شروع در $(0, 0)$، به چپ و پایین) حالا انتقال را در نظر می‌گیریم. نقطه $(0, 0)$ در نمودار اصلی به نقطه **$(-4, 0)$** در نمودار جدید منتقل شده است. * انتقال: **4 واحد به چپ** ($h=-4$) و **0 واحد عمودی** ($k=0$). $$y = -\sqrt{-(x - (-4))} + 0$$ $$y = -\sqrt{-(x + 4)} = -\sqrt{-x - 4}$$ ### بررسی نهایی ضابطه $y = -\sqrt{-x - 4}$: 1. **نقطه $(-4, 0)$:** $y = -\sqrt{-(-4) - 4} = -\sqrt{4 - 4} = 0$. **(درست)** 2. **نقطه $(-1, 1)$:** $y = -\sqrt{-(-1) - 4} = -\sqrt{1 - 4} = -\sqrt{-3}$. **(غلط!** این نقطه روی نمودار نیست.) ### ضابطه نهایی (با فرض اینکه نقطه شروع $(-4, 0)$ است): نمودار از $(-4, 0)$ شروع شده و به **بالا و چپ** می‌رود. * **تابع: $y = \sqrt{-x}$** (شروع در $(0, 0)$، به چپ و بالا) * **انتقال:** **4 واحد به چپ** $\implies$ $h=-4$ $$y = \sqrt{-(x - (-4))} = \sqrt{-(x + 4)} = \sqrt{-x - 4}$$ بررسی نقطه **$(0, 2)$** با این ضابطه: $y = \sqrt{-(0) - 4} = \sqrt{-4}$. **(غلط)** **ضابطه صحیح با در نظر گرفتن نقطه شروع $(0, 2)$:** اگر نقطه شروع $(0, 2)$ باشد: * انتقال: $h=0, k=2$ * تبدیل: **قرینه افقی** (چپ) $\implies$ $y = \sqrt{-x} + 2$ * بررسی نقطه $(-4, 0)$: $0 = \sqrt{-(-4)} + 2 = 2 + 2 = 4$. **$0 \neq 4$. پس این ضابطه هم غلط است.** **با توجه به اینکه نمودار فقط قرینه‌یابی و انتقال است، ضابطه صحیح با محوریت نقطه شروع $(-4, 0)$ و عبور از $(0, 2)$ باید از شکل زیر تبعیت کند:** * انتقال: **4 واحد به چپ و 0 واحد عمودی.** * قرینه‌یابی: **فقط نسبت به $y$** (چپ رفتن). * ضابطه: $y = a\sqrt{-(x+4)}$ نقطه $(0, 2)$ را قرار می‌دهیم: $$2 = a\sqrt{-(0+4)} = a\sqrt{-4}$$ (باز هم غلط) **نتیجه‌گیری قطعی:** با توجه به شکل رسم شده در کتاب که از $(-4, 0)$ شروع شده و از $(-1, 1)$ و $(0, 2)$ می‌گذرد، تابع تبدیل یافته **انبساط عمودی/افقی نیز** دارد، در حالی که متن سوال فقط **قرینه‌یابی و انتقال** را ذکر کرده است. فرض می‌کنیم سوال اشتباه بوده و **باید** فقط انتقال و قرینه باشد. **تنها ضابطه‌ای که با یک انتقال و قرینه افقی سازگار است و نقطه شروع را $(-4, 0)$ می‌گیرد (مثل نمودار $(f)$ در تصویر قبل) و به سمت بالا می‌رود، ضابطه زیر است:** $$y = \sqrt{-(x+4)} = \sqrt{-x-4}$$ **اما اگر منظور طراح، نموداری باشد که از $(0, 2)$ شروع و از $(-4, 0)$ بگذرد، ضابطه زیر تنها راه حل است:** * انتقال: $h=0, k=2$ * قرینه: $-x$ * **انبساط عمودی:** $y = a\sqrt{-x} + 2$ نقطه $(-4, 0)$ را قرار می‌دهیم: $$0 = a\sqrt{-(-4)} + 2$$ $$0 = 2a + 2 \implies 2a = -2 \implies a = -1$$ **ضابطه صحیح با در نظر گرفتن انبساط/انقباض عمودی:** $$y = -\sqrt{-x} + 2$$ **به دلیل تناقض در نقاط نمودار و متن سوال، ضابطه $y = -\sqrt{-x} + 2$ که شامل قرینه‌یابی نسبت به محور $x$ و $y$ و انتقال عمودی است، محتمل‌ترین پاسخ است (با فرض اینکه $(0, 2)$ نقطه شروع موج است).**